和积问题/答案
本页为 林爽的技术笔记本 之一部分。
经多方查证，此题最早是由斯坦福大学的 McCarthy 教授提出的。
由题意，可得到如下信息：
- 信息1：s必不能分拆为两个素数之和。
因为x，y有可能恰好就是这两个素数。P先生既然知道两数之积y，这时y只有一种分解式，P先生会马上知道x，y是多少（因x≤y，所以不存在顺反次序问题），S先生绝不能断言P先生也不知道这两个数。
- 信息2：s不能是偶数，x与y必为一奇一偶。否则，因s≤198，“哥德巴赫猜想”对198以内的偶数都成立，s如为偶数，必可分拆为两个素数之和，与信息1矛盾。
- 信息3：s不可能分拆为一个大于50的素数与另一偶数之和。
因为若t是大于50的素数，p必不能分解为p=x(kt)的形式(k∈Z，y=kt)。事实上，这时将有y=kt≥2×53=106，这与y≤99矛盾。所以，y只能分解为y=1×t与另一整数x的乘积，既然只有一种分解形式，S先生就不能断言P先生不知道这两个数。
- 信息4：s＜54。
因为大于54的数都可以分拆成53与另一整数之和，与信息3矛盾。又由信息2，54是偶数，s也不能等于54。
综合信息1～4，可得到两人都掌握了的总的信息：
- 信息D1(s)：s是大于3而小于54的奇数，并且没有由两个素数组成的分拆。
满足这一条件的数只有11个，把它们所成的集合记为A，A是双方都知道的：
A={11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53}
P先生说：“现在我知道这两个数了。”P先生从不知道到知道，获得新信息的渠道就是D1(s)。P先生之所以能得出x，y，是因为他掌握集合A之后，把他知道的乘积P分解为两个整数之积后，各种可能的分解中，只有一种其两个因数之和s属于A。换句话说，他提供了：
- 信息D2(p)：有且仅有一对整数x，y，满足xy=p，且x+y∈A。
最后S先生说：“现在我也知道这两个数了。”S先生之所以这样说，是因为他知道s，有且仅有一种分拆法能满足D2(p)。即S还掌握了如下信息：
- 信息D3(s)：有且仅有一种s的分拆法（s=x+y），使xy＝p，而p 能满足D2(p)。
S先生掌握的信息与我们一样，于是我们只要根据信息D2(p)和D3(s)来检查集合A中的每一个数，就可找出x，y。
首先，若A中的数s能写成s=2k+q(其中k≥2，q为素数)，则形如p=2k•q的数y一定满足D2(p)。因为y除了y=2k•q这种分解因式外，其余的分解形式，两个因数都必是偶数，其和s也是偶数，不能属于A。所以y满足D2(p)。根据这一结论，若A中的数s可用两种方式写成2k+q的形式，就不能满足D3(s)。
因为11=23+3=22+7，23=22+19=24+7，27=22+23=23+19，35=24+19=22+31，37=23+29=25+5，47=24+31=22+43，51=22+47=23+43，A中这7个数都不能满足D3(s)，应予排除。S先生所掌握的两数之和s只能是A中剩下的17，29，41，53四个数中之一。
再一一排除后面三个：
s≠29。因29=24+13=12+17。p1=24×13=208满足D2(p)。而12×17=204=p2，因204的其它分解只有204=3×68=6×34=4×51=2×102，其中6+34，2+102为偶数，4+51，3+68都大于54，均不在A中。即204只有一种分解，使其两因数之和属于A，从而满足D2(p)。因而29不满足D3(s)，应予排除。
S≠41。因为41=22+37=25+9。p1=22×37=148满足D2(p)。而p2=9×32=288的其他分解式只有288=2×144=3×96=4×72=6×48=8×36=12×14=16×18，其中3+96＞54，其余各种分解的两个因数均为偶数，故只有p2=9×32满足D1(s)，从而满足D2(p)。p1=108，P2=288都满足D2(p)，所以41不满足D3(s)，也要排除。
S≠53。因为53=24+37=25+21。p1=24×37满足D2(p)；P2=21×32=672，除了21×32外，672的其他任一分解，两因数之和都大于54，故672也满足D2(p)，从而不满足D3(s)，也要排除。
剩下的只有17了。易于验证17满足D3(s)。
17=2+15=3+14=4+13=5+12=6+11=7+10=8+9
因为2×15=30，30=2×15=5×6，而2+15=17，5+6=11都属于A，所以不满足D2(p)。
类似地可排除3+14，5+12，6+11，7+10，8+9。
剩下4+13。4×13=52，52的分解式只有两种：52=2×26=4×13，但2+26=28不属于A。于是52满足D2(p)，17满足D3(s)。
所以，这两个数就是x=4，y=13。